Enrico Barsanti

ORBITE
E
POSIZIONI PLANETARIE

ATTENZIONE: Nella parte, Schema per il calcolo, vengono usati alcuni simboli e grafici la cui visione dipende dall'impostazione del proprio sistema; in particolare deve essere attiva l'opzione di visualizzazione delle immagini del browser e occorre la disponibilità dei font Symbol (lettere greche).

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Indice

• PRESENTAZIONE
• ASPETTI GENERALI
• SCHEMA PER IL CALCOLO
• PROGRAMMA IN GW-BASIC

PRESENTAZIONE

Il presente lavoro è il risultato di uno studio personale durato alcuni mesi e che mi ha dato molte soddisfazioni. Sono infatti riuscito da solo a trovare quasi tutto ciò che è necessario per calcolare le orbite e le posizioni dei pianeti, senza disporre di quei manuali, oggi abbastanza diffusi, che mi spiegassero, tappa per tappa, i procedimenti da compiere. Quasi tutto da solo, ma non tutto, perché una cosa non sono riuscito a trovare. Si tratta dell'equazione di Keplero che, quando infine l'ho letta sul volume Astronomia dell'Enciclopedia Feltrinelli-Fischer, mi ha fatto toccare con mano la genialità del grande astronomo tedesco. Ero ormai già molto addentro al problema, ma ancora lontanissimo dalla sua soluzione. È stata un'esperienza rara e indimenticabile, paragonabile a quella che forse può provare un mediocre compositore ascoltando Vivaldi, Mozart e Beethoven.
A chi volesse avvicinarsi all'astronomia in modo intelligente e operativo consiglio la lettura di:
Wolfgang Schroeder, Astronomia pratica, Longanesi 1967

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ASPETTI GENERALI

Per prevedere con esattezza le posizioni dei pianeti e del Sole sulla volta celeste, così come noi la vediamo dalla Terra, è necessario conoscere due cose fondamentali:

1. la particolarità del moto di ciascun pianeta;
2. l'esatta posizione dei pianeti in un certo istante.

In sostanza, il determinare la posizione di un pianeta sulla volta celeste dipende da un ragionamento di questo tipo:
-- Oggi il pianeta si trova in questo punto; poiché si muove con questa e quest'altra caratteristica, domani si troverà in quest'altro punto e ieri si doveva trovare in un altro punto ancora. --

Dal momento che la particolarità del moto di ciascun pianeta sulla volta celeste è molto complicata e tutt'altro che armonica e prevedibile sulla base delle semplici apparenze, uno dei compiti fondamentali degli astronomi è stato quello di fare ordine e di individuare delle ragioni semplici e interpretabili che governassero l'apparente casualità e complicatezza del moto dei pianeti.
I due tentativi più famosi e, forse, più illustri che hanno cercato di fare luce sul moto dei pianeti sono quello del greco Claudio Tolomeo e del tedesco Giovanni Keplero.

Tolomeo considerò la Terra come se fosse ferma e il Sole come se le girasse intorno descrivendo una circonferenza, il cui centro, però, non coincideva esattamente con la posizione della Terra (eccentricità). Considerò, poi, gli altri pianeti come se girassero intorno alla Terra descrivendo degli epicicli.
Con questi moti, tutto sommato molto semplici, Tolomeo riuscì a dare una base razionale all'apparente irrazionalità del moto dei pianeti sulla volta celeste.

Keplero, invece, molti secoli dopo, considerò il Sole come se fosse fermo e la Terra e tutti gli altri pianeti, indifferentemente, come se gli girassero intorno descrivendo delle ellissi di cui esso (il Sole) occupava uno dei fuochi. La soluzione di Keplero sembrò subito dare delle basi razionali ancora più semplici di quelle di Tolomeo.

In entrambe le teorie, comunque, l'ipotesi comune di fondo è che i rapporti tra i fenomeni celesti non siano casuali e irrazionali, ma ubbidienti a leggi generali di carattere geometrico, cioè matematico.

Qualche secolo fa ci furono molte dispute atte a stabilire quale, tra il modello geocentrico e quello eliocentrico, fosse quello giusto. Oggi queste dispute non interessano più, ma è interessante notare come entrambe le teorie possano andar bene da un punto di vista matematico e portino a risultati corretti, se continuamente aggiornate con osservazioni sempre più precise. Da un punto di vista fisico, invece, sono incompatibili, e accettare per buona, oggi, la teoria tolemaica comporterebbe l'abbandono della teoria di Newton sulla gravitazione universale (cosa che potremmo anche fare, ma dovremmo riscrivere daccapo la fisica).
Il successo di una o l'altra delle due teorie, nel passato, è stato influenzato, più che da convinzioni teoriche, dai risultati concreti che si ottenevano nel prevedere le posizioni dei pianeti per una certa data. Il modello geocentrico trionfò su quello eliocentrico, semplicemente perché proposto da grandi astronomi come Ipparco e Tolomeo, che avevano dati osservativi e strumenti matematici più potenti di tutti gli altri. Tolomeo, nel secondo libro dell'Almagesto, non sostiene ragioni di principio a favore del geocentrismo. Egli sostanzialmente dice che il sistema geocentrico è più consono a noi perché, vivendo noi sulla Terra, abbiamo per contingenza una visione geocentrica dell'Universo. Ancora ai tempi di Copernico, che come è noto non è mai stato un grande osservatore del cielo (in punto di morte confessò di non aver mai visto Mercurio) non c'erano validi motivi astronomici per abbandonare il geocentrismo, non andando il suo contributo oltre quello di Aristarco di Samo, che si era limitato a copiare. Fu solo con le accurate osservazioni dei movimenti di Marte fatte da Ticho Brahe (che peraltro sosteneva il geocentrismo, anche se modificato) e con il genio matematico di Keplero che l'eliocentrismo trovò le basi matematiche e i risultati osservativi che ne decretarono il successo.

La descrizione del calcolo delle orbite e delle posizioni dei pianeti che segue si rifà alla teoria di Keplero e alle sue famose leggi sulla natura del moto dei pianeti.
Dalle leggi di Keplero risulta che la particolarità del moto di ciascun pianeta dipende soltanto dal tipo particolare di ellisse che descrive la sua orbita. Di conseguenza, per conoscere la posizione di un pianeta sulla sfera celeste è sufficiente sapere le caratteristiche della sua orbita, deducibili dall'osservazione, la sua posizione in una certa epoca, rilevata anch'essa direttamente con l'osservazione, e applicare le proprietà dell'ellisse.

Per ciascun pianeta dobbiamo conoscere:

1. il suo moto angolare giornaliero;
2. l'eccentricità della sua orbita;
3. il semiasse maggiore dell'orbita.

Inoltre, ponendo come piano di riferimento quello su cui giace l'orbita della Terra, chiamato piano dell'eclittica, dobbiamo conoscere anche:

1. la longitudine del nodo ascendente, cioè del punto in cui il pianeta incontra il piano dell'eclittica passandogli da sud a nord;
2. la longitudine del perielio, misurata sommando alla longitudine del nodo ascendente la distanza in gradi tra questo e il perielio;
3. l'inclinazione del piano dell'orbita del pianeta sul piano dell'eclittica;
4. la longitudine del pianeta in un'epoca nota.

La scelta dell'epoca, dal momento che una nostra misurazione con strumenti amatoriali non sarebbe molto precisa ma solo indicativa, dipende dalla documentazione in nostro possesso.
Una fonte attendibile nel nostro secolo è stata la Connaissance des temps, pubblicato in Francia da "Le Bureau des Longitudes", e l'epoca dei dati è il primo gennaio del 1900 ore 12:00 T.U. (T.U. sta per Temps Universel, in pratica l'ora solare media di Greenwich, G.M.T.)
Questa data, però, è ormai abbastanza lontana dai nostri giorni e i dati fondamentali delle orbite dei pianeti che ad essa si riferiscono potrebbero aver bisogno di alcune correzioni, specialmente nel caso che ci interessasse conoscere la posizione dei pianeti in un lontano futuro o in un lontano passato. Infatti, i dati fondamentali delle orbite dei pianeti non restano costanti nel tempo, ma subiscono delle variazioni, e anche se è vero che queste variazioni sembrano essere costanti, è anche vero che sono pochi secoli che studiamo i movimenti dei pianeti per poterle conoscere con esattezza.
Ad esempio, l'equinozio di primavera non avviene più, nella nostra epoca, quando il Sole entra nella costellazione zodiacale dell'Ariete, come avveniva circa 2100 anni fa, ma avviene quando il Sole entra nella costellazione dei Pesci, che precede quella dell'Ariete. Questo noto movimento del punto equinoziale di primavera, scoperto nel II secolo a.C. da Ipparco di Nicea, per me il più grande tra tutti gli astronomi, prende il nome di "Precessione degli equinozi" ed è di per sé sufficiente per invalidare tutti gli oroscopi. I punti equinoziali compiono un giro di 360° intorno alla fascia zodiacale, in 26000 anni circa, con uno spostamento annuale di circa 50" d'arco. Di qui la necessità di attendere ancora circa 24000 anni prima che i segni zodiacali possano coincidere nuovamente con le costellazioni di cui prendono il nome.

I movimenti di precessione sono comuni a tutti i pianeti e sembrano essere provocati dall'interazione gravitazionale dei pianeti stessi che, con le loro masse, perturberebbero vicendevolmente, e in modo costante, le loro orbite; ma la cosa non è molto certa, almeno per quanto riguarda le perturbazioni chiamate SECOLARI. Queste sono le più importanti e le più facilmente calcolabili.
Le perturbazioni, invece, chiamate PERIODICHE, dovute alle periodiche congiunzioni dei pianeti maggiori, sono difficilmente calcolabili e la loro importanza è insignificante per l'astronomia amatoriale, tanto che possiamo tralasciarle del tutto.

Tenendo conto soltanto delle perturbazioni secolari, ci faremo un quadro dei movimenti dei pianeti che sarà molto vicino al loro movimento reale, indipendentemente dalla data presa in considerazione. Per fare ciò si devono aggiungere i seguenti dati:

1. la variazione giornaliera della longitudine del perielio;
2. la variazione giornaliera dell'eccentricità dell'orbita;
3. la variazione giornaliera della longitudine del nodo ascendente;
4. la variazione giornaliera dell'inclinazione dell'orbita rispetto al piano dell'eclittica.

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SCHEMA PER IL CALCOLO

Lo schema che segue è diviso in due parti.

Nella prima parte si calcolano i dati riguardanti l'orbita della Terra e le coordinate equatoriali geocentriche del Sole. Nella seconda parte si calcolano i dati riguardanti l'orbita di un pianeta qualsiasi e, tenendo conto dei dati calcolati nella prima parte, si calcolano anche le coordinate equatoriali geocentriche del pianeta.

PARTE PRIMA (orbita terrestre)

Punto 1: Determinazione dei giorni GG che intercorrono tra la data dei calcoli (ora, giorno, mese e anno) e la data a cui si riferiscono tutti i dati orbitali fondamentali dei pianeti.

Punto 2: Determinazione dei dati orbitali della Terra che si riferiscono alla nuova data:

• Longitudine media L = L₀ + DL₀ · GG
• Longit. perielio w = w₀ + Dw₀ · GG
• Eccentricità e = e₀ + De₀ · GG
• Inclin. equatore e = e₀ + De₀ · GG

Punto 3: Calcolo della longitudine orbitale vera della Terra:

• Anomalia media M = L - w
• Anomalia eccen. E = ris. equ. Keplero "E - e sen(E) = M"
• Anomalia vera V = 2 · arctg( · tg(E/2))
• Long. orb. vera della Terra l_t= V + w

Punto 4: Calcolo del raggio vettore r della Terra (Dist. Terra-Sole in unità astronomiche):

• Raggio vettore r = a(1 - e · cos(E))

Punto 5: Calcolo della declinazione del Sole:

• Long. eclitticale del Sole l_s = l_t - 180°
• Declinazione d = arcsen(sen(e) · sen(l_s))

Punto 6: Calcolo dell'ascensione retta del Sole:

• Ascensione retta in gradi (se d >= 0) a° = arccos(cos(l_s) / cos(d))
• Ascensione retta in gradi (se d < 0) a° = 360° - arccos(cos(l_s) / cos(d))
• Ascensione retta in ore a = a° / 15

Punto 7: Calcolo dell'equazione del tempo ET :

• Longitudine media del Sole L_s = Long. media Terra L - 180°
• Equazione del tempo in gradi ET° = L_s - Asc. retta Sole in gradi a°
• Equazione del tempo in ore ET = ET° / 15

Punto 8: Calcolo del Tempo Siderale TS:

• Tempo Siderale TS = Long. media Terra L / 15

PARTE SECONDA (orbite dei pianeti)

Punto 9: Determinazione dei dati orbitali del pianeta (v. punto 2):

• Longitudine media L = L₀ + DL₀ · GG
• Longit. perielio w = w₀ + Dw₀ · GG
• Eccentricità e = e₀ + De₀ · GG
• Long. nodo asc. q = q₀ + Dq₀ · GG
• Inclin. orbita i = i₀ + Di₀ · GG

Punto 10: Calcolo della longitudine orbitale vera del pianeta (v. punto 3):

• M= L - w
• E= ris. equazione di Keplero "E - e · sen(E) = M"
• V = 2 · arctg(· tg(E / 2))
• Longitudine orbitale vera del pianeta =V + w

Punto 11: Calcolo del raggio vettore r del pianeta (v. punto 4):

• Raggio vettore del pianeta r = a(1 - e · cos(E))

Punto 12: Calcolo della latitudine eclitticale eliocentrica b del pianeta:

• b = arcsen(sen(i) · sen(V + w - q))

Punto 13: Calcolo della long. eclitticale eliocentrica l del pianeta:

• l = arccos(cos(V + w - q) / cos(b)) + q, se b >= 0
• l = (360° - arccos(cos(V + w - q) / cos(b)) + q, se b < 0

Punto 14: Calcolo delle coordinate cartesiane eclitticali eliocentriche del pianeta:

• x = r · cos(b) · cos(l)
• y = r · cos(b) · sen(l)
• z = r · sen(b)

Punto 15: Calcolo delle coordinate cartesiane eclitticali eliocentriche della Terra:

• x = r · cos(l_t)
• y = r · sen(l_t)
• z = 0

Punto 16: Calcolo delle coordinate cartesiane eclitticali geocentriche del pianeta:

• x' = x - X
• y' = y - Y
• z' = z

Punto 17: Calcolo delle coordinate sferiche eclitticali geocentriche del pianeta: l, j, r'
essendo:
x' = r' · cos(j) · cos(l)
y = r' · cos(j) · sen(l)
z = r' · sen(j)
si ricava:

• Distanza Terra-pianeta r' =
• Long. eclitt. geocen. l = arctg(y' / x'), (*) v. nota alla fine di questa parte
• Latit. eclitt. geocen. j = arcsen(z' / r')

Punto 18: Calcolo della declinazione d del pianeta:

• Declinazione d = arcsen(cos(e) · sen(j) + sen(e) · cos(j) · sen(l))

Punto 19: Calcolo dell'ascensione retta a del pianeta:

• a) A.R. in gradi, [se sen(l) >= tg(e) · tg(j)] a° = arccos(cos(j) · cos(l) / cos(d))
• b) A.R. in gradi, [se sen(l) < tg(e) · tg(j)] a° = 360° - arccos(cos(j) · cos(l) / cos(d))
• c) A.R. in ore a = a° / 15

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(*) Nota al punto 17:

se x' > 0 e y' > 0, altrimenti:
se x' < 0 e y' > 0, l = 180° - ABS(arctg(y' / x'))
se x' < 0 e y' < 0, l = 180° + ABS(arctg(y' / x'))
se x' > 0 e y' < 0, l = 360° - ABS(arctg(y' / x'))

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PROGRAMMA IN GW-BASIC

Il programma applica il metodo e i punti sopra elencati. In esso sono contenuti tutti i dati necessari per il calcolo. Per accedere al programma fare click qui.

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Fine
© Copyright 1981-1997 by Enrico Barsanti
Prima edizione su Internet: 25 agosto 1997